Родился 28 августа 1927 года в деревне Творогово Емельяновского района Красноярского края в семье крестьянина. 

После окончания средней школы в 1944 году добровольцем вступил в Красную Армию и служил механиком в авиационных частях.

В 1952 году уволился из армии и поступил работать учеником токаря на Красноярский завод лесного машиностроения, затем на "Государственное предприятие п/я № 1", а с 1966 года - Красноярский радиотехнический завод (ныне - ОАО "Радиосвязь"), выпускавшее радиоэлектронное оборудование.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июля 1966 года («закрытым») за выдающиеся заслуги в выполнении заданий семилетнего плана 1959—1965 годов и создание новой техники Шерстобитов Александр Павлович удостоен звания Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».

Избирался членом Красноярского крайкома КПСС. 

Проживал в городе Красноярске. Скончался 12 июня 2005 года.

Награждён орденами Ленина (29.7.1966) и Трудового Красного Знамени (17.02.1975), медалями.