Родился 1 января 1908 года в селе Стретенка ныне Дальнереченского района Приморского края в крестьянской семье. Украинец. Учился в сельской школе. В 1919 – 1922  годах участвовал в Гражданской войне на Дальнем Востоке, будучи воспитанником партизанского отряда. После Гражданской войны служил в органах ВЧК на станции Иман. С 1925 по 1927 год работал шахтёром на каменноугольной шахте города Никольск (ныне Уссурийск), с 1927 по 1929 год – чернорабочим, слесарем,  токарем в Никольских  железнодорожных мастерских (ныне Уссурийский локомотиворемонтный завод). Окончил рабфак. С 1929 года проходил действительную срочную службу в Красной Армии. Участвовал в вооруженном конфликте с китайскими войсками на Китайско-Восточной железной дороге в 1929 году.  В 1933 году окончил Ейскую военно-авиационную школу лётчиков. Служил в ВВС. С 1935 года работал пилотом в Гражданском Воздушном Флоте – в Особой сводной агитационной авиаэскадрилье имени М.Горького, затем в Московском транспортном отряде ГВФ, в 1939 – 1940 годах – в  Магаданском авиаотряде Дальстроя.

Вновь призван в армию в 1941 году.

В действующей армии – с 1941 года.  Прошел переобучение на Омском авиационном заводе на новый пикирующий бомбардировщик Ту-2 и в мае 1943 года с 12-м бомбардировочным полком прибыл на Северо-Кавказский фронт в 285-ю бомбардировочную дивизию 4-й воздушной армии. Принимал участие с 23 мая по  10 июля 1943 года в должности командира эскадрильи в боевых вылетах по авиационной поддержке наступления 56-й армии в полосе станиц Киевская, Молдаванская с целью прорыва вражеской «Голубой линии»  перед Таманским полуостровом. Получил благодарность командующего фронтом генерал-лейтенанта И.Е.Петрова.

С 8 августа по 20 октября 1943 года 12-й бомбардировочный полк воевал на Калининском фронте в непосредственном подчинении командованию 3-й воздушной армии. Участвовал в Смоленской наступательной операции  (7 августа – 2 октября 1943 года).
За отличие в боевых вылетах на Калининском фронте командир эскадрильи капитан А.А.Шумейко был награжден орденом Красного Знамени.

В боях на Калининском фронте 12-й бомбардировочный авиационный полк понес большие потери и был выведен в резерв на пополнение материальной частью и личным составом.

Вновь в действующей армии – с июня 1944 года на Ленинградском фронте. Принимал участие в составе 334-й бомбардировочной авиадивизии 13-й воздушной армии в Выборгской наступательной операции на Карельском перешейке.

При  выполнении боевого задания по бомбардированию укреплений  противника в районе Большое Калелово  (Всеволожский район Ленинградской области)  10 июня 1944 года самолет майора А.А.Шумейко, находясь над целью в зоне сильного зенитного огня, был подбит, взорвался и сгорел в воздухе.
Весь экипаж в составе: командир – майор Авксентий Андреевич Шумейко, штурман – лейтенант Алексей Павлович Глинка, воздушный стрелок-радист – старшина Анатолий Степанович Еремин, воздушный стрелок – старшина Федор Фомич Кошлич – погиб.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 августа 1944 года за мужество и героизм, проявленные при нанесении бомбовых ударов по врагу,  Шумейко Авксентию Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Именем  Героя названа улица в городе Остров Псковской области. Там же установлен памятник А.А.Шумейко. Экспозиция, посвященная жизни и подвигу А.А.Шумейко, находится в краеведческом музее гимназии Острова, в комнате боевой славы 12-го бомбардировочного авиационного полка.

Награжден орденами Ленина (2.08.1944), Красного Знамени (17.08.1943).

Участвуя в боевых действиях по изгнанию немецкой сволочи с нашей земли на Северо-Кавказском фронте, Калининском фронте совершил 7 успешных боевых вылетов ведущим девятки на уничтожение живой силы и техники противника.
За успешное выполнение боевых заданий на самолете Ту-2 награжден орденом «Красное Знамя».
Участвуя в боевых действиях на Ленинградском фронте по уничтожению живой силы и техники противника, произвел 2 успешных боевых вылета.
9 июня 1944 года, выполняя  боевое задание по бомбардировке товарной железнодорожной станции Выборг, задание выполнил отлично.
10 июня 1944 года, выполняя боевое задание по бомбардировке узла сопротивления Малое Калелово – Большое Калелово (цель № 17), ввиду сильного обстрела зенитной артиллерией, дабы выполнить боевое задание, майор Шумейко неоднократно заходил на цель и уничтожал противника. Несмотря на сильный обстрел зенитной артиллерией, майор Шумейко со штурманом Глинка вышли ведущими восьмерки и сбросили бомбовый груз в цель.
Над целью прямым попаданием снаряда зенитной артиллерии самолет, где летчиком был майор Шумейко, штурманом – лейтенант Глинка, воздушным стрелком-радистом – старшина Еремин, воздушным стрелком – старшина Кошлич, взорвался и сгорел в воздухе. Экипаж геройски погиб, твердо и стойко выполняя задание командования армии.
За мужество, настойчивость и офицерскую храбрость, проявленные при уничтожении немецких оккупантов при прорыве сильно укрепленной оборонительной полосы противника на Ленинградском фронте, чем обеспечен прорыв и успешное продвижение наших войск, достоин присвоения посмертно звания Героя Советского Союза.

Командир 12 БАП майор Васякин

Кроме приведенных источников, при подготовке биографии использованы материалы сайтов История Пскова, МБУ  Централизованная библиотечная система Дальнереченского городского округа и Моя Родина – Магадан.