Родился 1 декабря 1913 года в селе Афанасьево ныне Алексинского района Тульской области в семье рабочего. Русский. Окончил 8 классов и школу ФЗУ, работал слесарем. Призван в армию в 1935 году. В 1940 году окончил Мелитопольское военное авиационное училище летчиков-наблюдателей и штурманов.

Во время Великой Отечественной войны с сентября 1941 года. Свою боевую деятельность лейтенант И.И.Савощев начал на Юго-Западном фронте в 316-м отдельном разведывательном полку, вооруженном легкими бомбардировщиками Як-2 и Як-4. К середине октября 1941 года совершил в качестве стрелка-бомбардира  21 разведывательный боевой вылет, за что был награжден орденом Красного Знамени. Участвовал в Елецкой наступательной операции (6 – 16 декабря 1941 года) – составной части контрнаступления под Москвой.

К концу 1941 года полк потерял большую часть самолетов и был расформирован. На его основе были созданы 90-я и 91-я отдельные разведывательные эскадрильи, вооруженные самолетами Су-2. Обе эскадрильи находились в подчинении Юго-Западного фронта. Здесь И.И.Савощев совершал в мае-июне 1942 года разведывательные боевые вылеты во время боев под Харьковом.

В июне 1942 года на основе 90-й и 91-й отдельных разведывательных эскадрилий был сформирован 8-й отдельный разведывательный авиационный полк,  который вместо самолетов Су-2 получил пикирующие бомбардировщики Пе-2 и Пе-3, оборудованные для ведения аэрофоторазведки. И.И.Савощев летал в этом полку до конца войны в качестве штурмана экипажа, звена, эскадрильи, полка.

Совершал разведывательные вылеты в составе 8-й воздушной армии на Сталинградском и  Южном (с 20 октября 1943 года – 4-м Украинском) фронтах, 1-м Украинском, 4-м Украинском второго формирования фронтах. Участвовал в обороне Сталинграда,  контрнаступлении под Сталинградом и уничтожении котельниковской группировки вражеских войск. Обеспечивал ценными разведывательными данными командование 8-й воздушной армии и фронтов при проведении важнейших стратегических и фронтовых операций –  Ростовской наступательной операции (1 января – 18 февраля 1943 года); Миусской наступательной операции (17 июля – 2 августа 1943 года); Донбасской наступательной операции (13 августа – 22 сентября 1943 года); Мелитопольской  наступательной операции (26 сентября – 5 ноября 1943 года); Никопольско-Криворожской наступательной операции (30 января – 29 февраля 1944 года); Крымской наступательной операции (8 апреля – 12 мая 1944 года) и освобождении Севастополя;  Львовско-Сандомирской стратегической наступательной операции (13 июля – 29 августа 1944 года); Западно-Карпатской стратегической наступательной операции (12 января – 18 февраля 1945 года); Моравско-Остравской наступательной операции  (10 марта – 5 мая 1945 года); Пражской стратегичесоой наступательной операции (6 – 12  мая 1945 года).

К 19 февраля 1944 года совершил 140 боевых вылетов в тыл противника на разведку аэродромов, оборонительных рубежей, скоплений войск и боевой техники. В условиях противодействия зенитной артиллерии и истребительной авиации противника произвел фотосъемку огромных площадей вражеской обороны на направлении главных ударов фронтов.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от  1 июля 1944 года за мужество и героизм, проявленные при выполнении разведывательных полетов, Савощеву Ивану Ивановичу  присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

После окончания войны И.И.Савощев продолжал службу в Военно-Воздушных силах Советской Армии. В 1947 году окончил Краснодарскую высшую авиационную школу штурманов, в 1953 году – высшие лётно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава.

С 1961 подполковник И.И.Савощев – в запасе. Жил в Ленинграде (ныне – Санкт-Петербург). Скончался 28 августа 1992 года. Похоронен в Санкт-Петербурге на Волковском православном кладбище.

Имя Героя увековечено на стеле, установленной в городе Алексин на улице Героев-Алексинцев.

Награжден орденом Ленина (1.07.1944), 3 орденами Красного Знамени (6.11.1941; 30.08.1942; …), орденом Александра Невского (26.02.1945), 2 орденами  Отечественной войны 1-й степени (22.06.1943; 11.03.1985), орденом Красной Звезды, медалями, в том числе «За оборону Сталинграда».

Майор Савощев на фронте Отечественной войны с сентября 1941 года. На Юго-Западном, Сталинградском, Южном и 4 Украинском фронтах беспрерывно ведет боевую работу – дальнюю разведку войск противника. Принимал участие в 8 боевых операциях.
Елецкая операция, декабрь 1941 года – тов. Савощев летает непрерывно на боевые задания по разведке войск противника.

В боях под Харьковом (май-июнь 1942 года) ведет разведку района Харьков – Богодухов – Полтава – Красноград – Мерефа – Чугуев – Змиев. Своими полетами обнаружил выдвижение большого количества мото-мехчастей и танков противника на Харьков и Лозовую. Вскрыл более 15 аэродромов противника, на которых базировалось по 100 – 150 самолетов. Его разведывательные данные характерны исключительной полнотой и достоверностью, каждый полет подтверждает фотодокументами.

С июля 1942 года по январь 1943 года в боях под Сталинградом совершил 50 боевых вылетов на дальнюю разведку. Постоянно держал под наблюдением переправы через реку Дон, установил более 10 аэродромов противника, на которых находилось по 100 и более самолетов. Им были обнаружены десятки тысяч автомашин и сотни танков, выдвигавшихся на Сталинград. Только за один день 11 сентября 1942 года обнаружил 4 автоколонны по 200 – 300 единиц, выдвигавшиеся из-за Дона через Котлубань на Большая Россошка, 15 железнодорожных эшелонов на станции Нижне-Чирская, 150 самолетов на аэродроме Обливская.

Ни сильное противодействие истребителей противника, ни интенсивный обстрел зенитной артиллерией для тов. Савощева не являлись преградой на пути к намеченной цели.

В боях по разгрому Котельниковской группировки противника в декабре 1942 года тов. Савощев обнаружил: железнодорожные составы, груженые танками, на станции Зимовники, направляющиеся на Котельниково. Эти исключительно ценные данные были своевременно доставлены командованию фронта и армии.

В боях по прорыву обороны противника на реке Миус и при освобождении Донбасса тов. Савощев проявляет исключительную храбрость, мужество и выдержку.

При выполнении специального задания командования фронта в июле 1943 года, при фотографировании оборонительного рубежа противника на участке Таганрог – Новотроицкое – Успенское, при интенсивном обстреле зенитной артиллерией (участок прикрывался 20 артиллерийским зенитными батареями) по разведчику было выпущено более 2000 снарядов. Несмотря на это, штурман тов. Савощев не свернул с заданного маршрута на высоте 3000 метров, полностью сфотографировал сильно укрепленный рубеж противника.

Фотографированием оборонительных рубежей на реке Миус, Крынка, Кальмиус, на протяжении более 350 километров тов. Савощев обеспечил наземные части достоверными фото-планшетами о характере обороны противника.

Ведя непрерывную дальнюю разведку на предельный радиус самолета, экипаж тов. Савощева 25.07.1943 года установил выдвижение колонны в 2000 автомашин, идущей  к участку прорыва из района Сталино. Свои данные немедленно сообщил по радио командованию армии и фронта. В результате предпринятых мер наши штурмовики и бомбардировщики громили вражескую колонну в период ее сосредоточения.

В боях за Мелитополь, по прорыву  укрепленного рубежа на реке Молочная майор Савощев, кроме глубокой разведки, произвел фотосъемку укрепленного рубежа на участке 20 000 квадратных километров в направлении главного удара наших войск. Под сильным огнем зенитной артиллерии вскрыл крупную группировку войск противника, сосредоточенную в районе Михайловка.

В боях по освобождению низовьев Днепра и разгрому немцев на Никопольском плацдарме тов. Савощев при сильном противодействии истребителей противника с высоты 3500 метров произвел фотосъемку обороны противника на всю глубину плацдарма в направлении главного удара наших войск общей площадью 20 000 квадратных километров.

За проявленные мужество и отвагу при выполнении боевых заданий командования награжден двумя орденами Красного Знамени и орденом Отечественной войны 1 степени. С получением каждой награды тов. Савощев с еще большей настойчивостью, мужеством и отвагой выполняет самые ответственные задания на опасных направлениях.

Майор Савощев, как штурман полка, воспитал 12 молодых летчиков умению вести дальнюю разведку. Сам лично с вновь прибывшими молодыми летчиками вылетает на первые боевые задания, тем самым вселяя уверенность в успешном выполнении приказов командира.
Благодаря лично проявленной инициативе тов. Савощева учить показом молодые экипажи методам ведения разведки, применению маневра в зоне зенитного огня, повышено качество разведки и снижены  боевые потери в полку – на 1075 боевых вылетов за год имелось 8 боевых потерь – по одной потере на 134 боевых вылета.

После последней награды совершил 50 боевых вылетов. Всего 140 боевых вылетов на дальнюю разведку.

За проявленные храбрость, мужество  и геройство при выполнении боевых заданий на разведку войск противника ходатайствую о награждении майора Савощева высшей правительственной наградой – присвоении звания «Герой Советского Союза».

Командир 8 отдельного разведывательного авиационного Мелитопольского полка полковник Ситкин

19 февраля 1944 года.