Родился 30 марта 1915 года в селе Турдаково ныне Дубенского района (Республика Мордовия) в крестьянской семье. Мордвин. В 1932 году окончил 7 классов в селе Кабаево Дубенского района. Работал слесарем завода «Химмаш» в городе Дзержинск Нижегородской области. Призван в армию в октябре 1937 года Дзержинским райвоенкоматом. Окончил полковую школу и курсы младших лейтенантов.

Во время Великой Отечественной войны в действующей армии – с 27 июня 1941 года. Воевал на Северном, Карельском, Западном и 3-м Белорусском фронтах.

В боях 6 раз был ранен. Седьмое оказалось смертельным.

На Карельском фронте младший лейтенант Н.М.Бровцев, командир стрелкового взвода 1046-го стрелкового полка 289-й стрелковой дивизии, сражался в составе Медвежьегорской, затем Масельской оперативной группы войск, позднее – в 32-й армии. Участвовал в оборонительных боях и частных наступательных операциях против финских войск. За отличие в боях 19-21 ноября 1941 года в районе станции Масельская был награждён орденом Красного Знамени.

На Западном фронте весной, летом и осенью 1943 года в составе 10-й гвардейской армии Н.М.Бровцев, к октябрю 1943 года ставший гвардии капитаном, заместителем командира батальона 249-го  гвардейского полка 85-й гвардейской стрелковой дивизии, участвовал в оборонительных боях, в наступательных действиях на смоленском направлении. За отличия в боевых действиях был награждён орденами Отечественной войны 2-й степени и Красной Звезды.

Особо отличился в Восточно-Прусской стратегической наступательной операции, сражаясь на 3-м Белорусском фронте в составе 2-й гвардейской армии в качестве командира стрелкового батальона 923-го стрелкового полка 251-й стрелковой дивизии. Участвовал во взятии многих городов и населённых пунктов Восточной Пруссии – Бартен, Бартенштайн, Прейсиш-Айлау и других.

15 апреля 1945 года в районе юго-восточнее населённого пункта Пальмникен (ныне – посёлок городского типа Янтарный Светлогорского горсовета Калининградской области) крупные силы пехоты и танков противника контратаковали подразделения полка в лесном массиве Флангервальд и пытались выйти в тыл наших частей. Батальон в этом бою понёс большие потери. Капитан Н.М.Бровцев  возглавил командование небольшой группой стрелков, закрепился на высоте и организовал упорное сопротивление врагу. Вёл по наступающей пехоте огонь из ручного пулемёта; когда кончились патроны в диске пулемёта, отбивался автоматным огнём и гранатами. В этом бою погиб.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года за умелое руководство батальоном, мужество и героизм, проявленные в Восточно-Прусской операции, капитану Бровцеву Николаю Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно).

Похоронен в братской могиле в посёлке Русское Зеленоградского района Калининградской области. На могиле установлен памятник. В селе Дубенки Дубенского района именем Героя названа улица. Имя Н.М.Бровцева было присвоено рыболовному траулеру.

Награждён орденами Ленина (29.06.1945), Красного Знамени (23.07.1942), Суворова 3-й степени (5.03.1945), Отечественной войны 2-й степени (12.10.1943), Красной Звезды (17.06.1943), медалями.

В наступательных боях по разгрому Восточно-Прусской группировки противника с 20.1.45 года тов. Бровцев, командуя стрелковым батальоном, стойко и мужественно выполнял целый ряд ответственных боевых заданий. Борясь с превосходящими силами пехоты и танков противника, совершая умелые обходные маневры, батальон под его командованием успешно совершил более 15 прорывов современной вражеской обороны, в числе первых наступающих подразделений штурмом овладевал городами Бартен (27.01.45), Бартенштайн (4.02.45), Прейсиш-Айлау (10.02.45) и другими.

Под огнем противника его батальон трижды форсировал водные преграды. За время этих боев батальон тов. Бровцева с боями прошел более 800 км, овладел более чем 140 населенными пунктами, захватил в плен до 450 немецких солдат и офицеров, уничтожил более 600 фашистов и захватил большие трофеи оружия и военного снаряжения. На счету батальона значится более 30 блокированных и захваченных с боем железобетонных вражеских укреплений – ДОТов.

В боях по разгрому Восточно-Прусской группировки противника тов. Бровцев неоднократно проявил личный героизм и отвагу, находясь непрерывно в боевых порядках пехоты. Лично на счету тов. Бровцева имеется до 80 уничтоженных и более 120 пленных фашистов.

25 января 1945 года он с группой бойцов штурмом ворвался на центральную плотину Мазурского канала, захватил вражеских саперов, которые упорно пытались взорвать плотину и затопить район междуозерья, создав большую водную преграду для наступающих наших войск. В течение целого дня тов. Бровцев мужественно с группой бойцов удерживал плотину до подхода наших основных сил, отразив 7 контратак крупных сил пехоты и танков противника. Когда вышел из строя расчет станкового пулеимета, тов. Бровцев установил пулемет на верху самой плотины и более 4 часов расстреливал беспрерывно ползущих к плотине фашистов. До 40 трупов враг оставил только у самой плотины и не добился успеха. В этом бою тов. Бровцев был ранен, но от пулемета не ушел, пока не подошли основные силы наших частей.

В боях по разгрому Земландской группировки противника в Восточной Пруссии 14 – 15 апреля 1945 года батальон под его командованием в упорных боях с превосходящими силами противника, совершая смелые глубокие обходные маневры, овладел сильно укрепленными опорнвми пунктами врага Котцляукен, Штопорнен, Берхольц, Маркенен, Тиренберг, перерезав две автомагистрали, являющихся важными коммуникациями, Земландской группировки противника.

В боях за Берхольц 14.04.45 года противник оказал сильное сопротивление, масировнным огнем заставил залечь нашу пехоту и пытался отрезать ее с фланга. Тогда тов. Бровцев со своим связным под пулеметным огнем подполз к боевым порядкам пехоты, с автоматом в руках поднялся во весь рост, дал команду «За Родину, за Сталина, вперед!» и увлек пехоту на штурм опорного пункта Берхольц. Ворвавшись первым в Берхольц, он захватил в плен до 70 немецких солдат. Во время атаки он был контужен, но с поля боя не ушел.

15.05.45 года крупные силы пехоты и танков противника контратаковали наши подразделения в лесном массиве Флангервальд и пытались выйти в тыл наших частей. Тов. Бровцев, проявляя исключительное мужество, при выбытии из строя ряда офицеров, возглавил командование небольшой группой стрелков, закрепился на высоте и организовал упорное сопротивление врагу. Ни один танк и ни один вражеский солдат не прошел через боевые порядки тов. Бровцева. Оставшись с группой бойцов в 8 человек, тов. Бровцев подобрал на поле боя ручной пулемет и  до последнего патрона в диске громил наседающего врага. В завязавшейся рукопашной схватке тов. Бровцев, уже будучи тяжело раненым в ногу, гранатами уничтожил двух вражеских офицеров и от занимаемых позиций не отошел ни на шаг.

Оставаясь на высоте вдвоем со связным, истекая кровью, он продолжал вести огонь из пулемета, пока не подошли другие подразделения. Когда кончились патроны в диске, тов. Бровцев гранатами и из автомата продолжал уничтожать ползущих немцев, но вскоре прямой наводкой из вражеской самоходки был смертельно ранен в голову. Тов. Бровцев погиб, но врага не пропустил и удержал занимаемый рубеж.

Подошедшие подразделения опрокинули измотанного врага и продвинулись к исходу дня на 7 километров.

Достоин присвоения звания Героя Советского Союза посмертно.

Командир 923 стрелкового ордена Александра Невского полка гвардии подполковник Дрыгин
5 мая 1945 года